확률의 정의와 성질

 

확률의 정의와 성질

확률을 체계적으로 정의하려면 표본공간(Sample space)와 사건(Event)을 정의해야 한다.

  • 표본공간 (Sample space): 통계적 실험의 모든 가능한 결과 집합. 표본공간은 대개 S로 표현. 표본공간의 개개의 원소를 표본점이라고 한다.
  • 사건 (Event): 표본 공간의 부분 집합. 영문 대문자로 표시.

    EX> 동전 1개를 던져서 앞면(H) 또는 뒷면(T)이 나온다면 동전던지기의 표본 공간(S)
    S = \{ \space H, \space T \space \} H, T가 표본점이 된다.

  • 표본공간의 표본점을 하나씩 세어 나갈수 있다면 이산 표본공간, 표본점을 하나씩 셀 수 없는 것은 연속 표본공간이라고 한다.
  • 여러 개의 사건을 결합하여 생각할 수 있는데, 이때 집합을 사용한다.

 

집합의 개념

집합 (Set): 서로 명확하게 구별되어 있는 원소(Element)들을 정의하여 전체로 묶은 것. 집합은 원소나열법과 조건제시법으로 표현.

  • 원소나열법: A = \{\space 1, 2, 3, 4, 5, 6 \space \}
  • 조건제시법: A = \{ \space n은 \space자연수\space |\space 1\le n\le 6 \} 

 

전체집합 (U)

가장 커다란 집합. 표본공간

 

부분집합

B는\space A의\space 부분\space 집합:\space A \supset B

→ 집합 B에 속한 모든 원소는 집합 A에 포함

※ 진부분집합: A \subset B, \space A\not= B\space 일때 A를 B의 진부분집합이라 한다.

 

공집합 (\text{\o})

조건을 만족하는 원소가 하나도 없는 집합

 

합집합 (A \cup B)

두 집합 중 적어도 한쪽에 속하고 있는 원소들의 전체 집합

 

교집합 or 공통집합 (A \cap B)

두집합 양쪽 모두에 속해있는 원소들의 집합

 

여집합 (A^c)

전체 집합에는 속하지만 집합 A에는 속하지 않는 모든 원소의 집합

 

차집합 (A-B)

A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 모든 원소의 집합

 

고전적 확률

통계적 실험의 모든 가능한 결과 집합을 표본공간이라고 하고, 표본공간의 한 부분집합을 사건이라고 한다. 표본공간은 전체집합과 같다.

고전적 확률은 사건의 원소수를 표본공간의 원소수로 나누어서 구한 확률이다.

 

사건 A와 표본점의 수가 n개인 표본공간 S는 다음과 같다.

표본공간: S=\{e_1,e_2,\dotsb e_i, \dotsb e_n\}   (표본점 n개)

사건: A=\{e_1,e_2,\dotsb e_i,\dotsb e_k \} (사건 k개) 

사건이 일어날 확률:  {P(A)=\frac {사건 A의 \space 원소의 \space 개수} {표본공간(S)의\space 원소의\space 개수} = \frac k n}

 

EX> 주사위를 던져서 짝수가 나올 확률

표본공간: S=\{1,2,3,4,5,6\}

사건: A= \{2,4,6\}

주사위를 던져서 짝수가 나올 확률: P(A)=\frac k n = \frac 3 6 = \frac 1 2

 

경우의 수

고전적 확률 계산을 위해서는 사건의 원소 개수를 세는것이 중요하다.

1회의 시행에서 일어날 수 있는 사건의 가짓수를 n이라고 할 때 이 때의 경우의 수를 n이라고 한다.

경우의 수는 확률과 밀접한 관계를 가지는데 이는 각 사건이 일어날 확률들의 관계를 알 수 있다면 경우의 수를 통해 각 확률을 구할 수 있기 때문이다.

표본공간에서 사건은 복원 추출과 비복원 추출도 될 수 있다.

추출(Sampling)

  • 복원추출(with-replacement): 이미 추출한 것을 다시 넣고 추출하는 것
  • 비복원추출(without-replacement): 이미 추출한 것을 다시 넣지 않고 추출하는 것

추출 방법에 따라 경우의 수가 다르고, 순서를 고려하느냐 고려하지 않는냐에 따라 경우의 수가 달라진다.

n개의 모집단에서 r개의 표본을 추출할 때의 경우의 수

with-replacement without-replacement
ordered _n\Pi_r=n^r _nP_r=\frac {n!} {(n-r)!}   
unordered _nH_r = \frac {(n-1+k)!} {(n-1)!k!} _nC_r=\frac {_nP_r} {r!} = \frac {n!} {r!(n-r)!}

※ n개중 r개를 복원추출 할 때 이것을 중복순열의 수라고 한다. C는 조합을 의미한다.

 

EX> 동전을 3번 던져서 앞면이 2번 나올 확률을 구하기 (복원추출)

동전을 3번 던질때 표본공간의 원소의 수는 2^3=8이다. 앞면을 H, 뒷면을 T라고 할 때 앞면이 2번인 경우 (_3C_2)는 다음과 같다.

  \{H,H,T\}, \{H,T,H\},\{T,H,H\}

따라서 앞면이 2번 나올 확률은 P(A)=\frac 3 8이다.

 

EX> 로또에서 1등이 당첨될 확률 (비복원추출)

45개의 수에서 6개의 숫자가 나올 모든 종류의 수(표본공간)는 다음과 같다.

_{45}C_6=\frac {45!} {6!39!}=8,145,060

1등은 그중에 하나이므로 1등에 당첨될 확률은  \frac {1} {8,145,060} 이다.

 

공리적 확률

고전적 정의에서는 표본공간의 모든 원소가 발생할 가능성이 같다고 가정한다. 하지만 이 가정이 성립하지 않는 경우가 있을 수도 있다. 예를 들면 동전을 던졌을 때 아주 드물게 앞뒤가 나오지 않고 서는 경우(모서리)도 있다. 이를 고려하여 표본공간을 {앞, 뒤, 모서리}라고 정의할 수 있는데, 이때는 표본공간의 각 원소가 발생할 가능성이 같다는 가정이 성립하지 않으므로 고전적 확률을 사용할 수 없다. 따라서 확률을 보다 포괄적으로 정의해야한다. 러시아 수학자 Kolmogorov는 표본공간 S의 사건 A에 대한 확률 P(A)를 다음 3개의 조건(공리)을 만족시키는 것으로 정의하였다.

  • 0 \le P(A) \le 1 P(A)는 0과 1사이에 있음.
  • P(S)=1 표본공간의 확률은 1
  • P\Bigg(\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\Bigg)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty P(A_i)( A_i)는 배반사건.

※ 배반사건은 서로 공집합이 없는 경우를 말한다.

어떤 측정도구 P가 있는데 그 값이 0과 1 사이에 있으며, 전체사건에 대한 P 값은 항상 1이다. 서로 배반인 사건의 합집합의 P는 각 사건 P의 합과 같다는 성질을 만족하는 P가 있으면 아는 확률이다.

이러한 공리적 확률은 확률을 ‘상대도수의 극한’으로 설명하려는 노력으로부터 비롯되었다.

 

확률의 계산

여사건의 확률

표본공간은 사건 A와 A의 여집합(A^c )의 합집합으로 표현된다.

S=A\cup A^c

A와 A^c 는 배반사건이므로 콜모고로프의 세 번째 정리를 이용하면, 다음이 성립한다.

P(S)=p(A)+p(A^c)

그런데 P(S)=1이므로 다음이 성립된다.

1=P(A)+p(A^c)

따라서 P(A^c)=1-P(A) 가 된다.

 

EX> 15개의 제품 중에 불량품이 3개 있다. 이 중에서 2개의 제품을 구입하였을때 다음 확률은?

  1. 구입제품 중 불량품이 하나도 없는 경우
  2. 구입제품 중 불량품이 적어도 하나 있는 경우

 

1. 전체 제품 9개는 7개의 양호품과 2개의 불량품으로 구성된다. 불량품이 하나도 없는 사건을 A라고 할때, 구입한 2개 제품 모두 불량품이 아닐 경우의 수는 다음과 같다.

_7C_2=\frac {7!} {2!5!}=\frac {7\times 6} {2\times 1}=21

따라서 구입제품의 불량품이 하나도 없는 경우의 확률은 다음과 같다.

P(A)=\frac {_7C_2} {_9C_2}=\frac {21} {36} =\frac {7} {12}

 

2. 적어도 불량품이 하나 있는 경우는 1의 여사건. 즉, A^c.

P(A^c)=1-P(A)=1-{\frac {7} {12}}=\frac {5} {12}

 

확률의 덧셈정리

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

 

 

※ 방송대 정보통계학과 확률의 개념과 응용 강의 정리

참고 – 교재 및 강의

 

 

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