조건부 확률

 

조건부 확률

사건 B가 발생했다는 조건하에서 사건 A가 발생할 확률  P(A|B)

주사위를 던질 때 총 6가지 결과가 가능 → 주사위를 던질때 1이 나올 확률은 \frac 1 6 , 짝수가 나올 확률은 \frac 1 2

→ 주사위의 눈이 3이하 라는 정보가 주어지면. 주사위가 1이 나올 확률은 \frac 1 3

 

베이즈 정리

조건부 확률을 이용하여 어떤 사건의 발생확률을 구할 때 자주 이용되는 것이 베이즈(Bayes)정리이다.

  • 베이즈 정리: 표본공간을 분할한 후 주어진 조건부 확률로부터 사건의 발생확률을 구할수 있는 정리.

표본공간을 분할하여 B_1, B_2, \dotsb, B_k 로 나눌수 있을 때

 

1. 사건 A가 발생할 확률

P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\dotsb+P(A|B_k)P(B_k)

 

2. 사전 A가 발생했다는 정보가 주어졌을 때, B_i의 조건부 확률은 다음과 같다.

P(B_i|A)=\frac {P(A|B_i)P(B_i)} {P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\dotsb+P(A|B_k)P(B_k)}=\frac {P(A|B_i)P(B_i)} {\displaystyle\sum_{i=1}^kP(A|B_i)P(B_i)}

 

EX> 전체 인구의 5%가 앓고 있는 질병에 대한 진단 시약이 질병에 걸린 사람 중 98%는 양성 반응, 질병에 걸리지 않은 사람중 90%는 음성 반응이다. 다음을 구하여라.

(1) 진단 테스트 결과가 양성 반응일 때, 질병에 걸렸을 확률

(2) 진단 테스트 결과가 음성 반응일 때, 질병에 걸리지 않았을 확률

D= 질병에 걸린 사건

D^c= 질병에 걸리지 않은 사건

T^+= 진단 테스트 결과가 양성인 반응인 사건

T^-= 진단 테스트 결과가 음성인 반응인 사건

  • P(D)=0.05, P(D_c)=0.95
  • P(T^+|D)=0.98, P(T^-|D)=0.02
    P(T^+|D^c)=0.10, P(T^-|D^c)=0.90

 

(1) P(D|T^+): 어떤사람의 진단 테스트 결과가 양성 반응일 때, 이 사람이 질병에 걸렸을 확률.

P(D|T^+)=\frac {P(D\cap T^+)} {P(T^+)}=\frac {P(T^+|D)P(D)} {P(T^+|D)P(D)+(P(T^+|D^c)P(D^c)}=\frac {0.98\times 0.05} {0.98\times 0.05\times 0.10\times 0.95\times}=\frac {49} {144}

 

(2) P(D^c|T^-): 어떤 사람의 진단 테스트 결과가 음성 반응일 때, 이 사람이 질병에 걸리지 않았을 확률

P(D^c|T^-)=\frac {P(D^c\cap T^-)} {P(T^-)}=\frac {P(T^-|D^c)P(D^c)} {P(T^-|D)P(D)+(P(T^-|D^c)P(D^c)}=\frac {0.90\times 0.95} {0.02\times 0.05\times 0.90\times 0.95\times}=\frac {855} {856}

 

몬티 홀 게임

조건부 확률의 개념을 사용하여 문제를 해결할 수 있는 한 가지 예가 몬티 홀(Monty Hall) 게임이다. 한 사람이 3개의 문 중 하나의 문을 선택하고, 그 문을 열어 자동차가 있으면 자동차를 상품으로 받는다. 3개의 문 중 어느 한 곳에는 자동차가 있고, 나머지 2개의 문 뒤에는 염소가 있다. 선택한 문뒤에 자동차가 있다면 자동차를 상품으로 받지만 염소가 있는 경우 상품을 받지 못한다.  이 게임을 흥미롭게 진행하기 위해 선택하지 않은 2개의 문중에서 염소가 있는 문 하나를 오픈하여, 남은 문중에서 선택을 바꿀수 있는 기회를 준다. 이때 처음 선택한 문을 그대로 선택하는 것이 유리한지, 선택하지 않았던 문으로 바꾸는 것이 유리한지 확률적으로 계산을 할 수 있다.

 

A_1= 1번 문에 자동차가 있을 사건

A_2= 1번 문에 자동차가 있을 사건

A_3= 1번 문에 자동차가 있을 사건

B= 사회자가 2번 문에 염소가 있다는 사실을 알려 줄 사건

 

자동차가 1,2,3 번 문 중 하나에는 반드시 있으므로, 베이즈 정리에 따라

P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+P(A_3\cap B)

= P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)=\frac 1 2

이다.

베이즈 정리에 따라 구하고자 하는 조건부 확률은 다음과 같다.

P(A_1|B)=\frac {P(A_1\cap B)} {P(B)}=\frac {1/6} {1/2} = \frac 1 3

P(A_3|B)=\frac {P(A_3\cap B)} {P(B)}=\frac {1/3} {1/2} = \frac 2 3

1번을 선택 했을시 그대로 1번을 선택하면 \frac 1 3, 3번문으로 바꾸면 \frac 2 3의 확률을 가진다.

 

독립 (independent)

  • 독립: 한 사건이 발생했다는 정보가 주어진 상황에서 구한 어떤 사건의 조건부 확률과 주어진 정보 없이 구한 확률이 같을때

두 사건 A와 B 사이에 연관성이 없다면, 사건 A에 대한 정보로부터 사건 B에 대한 정보를 얻을 수 없음: P(B|A)=P(B)

→ A와 B는 서도 독립: P(A\cap B)=P(A)P(B)

사건이 서로 배반인 경우 조건부 확률 P(A|B) P(A) 와 다른 값을 가지므로, 두 사건은 서로 독립일 수 없음.

→ 배반사건 : 공통 부분이 없음으로 P(A\cap B)=0

 

 

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